Выступал за "Зарю", ростовский СКА, киевское "Динамо", "Ювентус", "Нанси" и "Сен-Дизье". Заваров - вице-чемпион Европы (1988 год), чемпион СССР (1985, 1986 г.), трехкратный обладатель Кубка СССР, обладатель Кубка обладателей Кубков (1986 г.), обладатель Кубка УЕФА (1990) и Кубка Италии того же года, лучший футболист СССР 1986 года. Тренировал французский "Сен-Дизье", швейцарский "Виль", казахский "Женис", "Металлист" и киевский "Арсенал", который недавно покинул со скандалом.